תרגיל אליפסה- 2014 גהנדסה אנליטית 572 · שיעור 77

הנדסה אנליטית · 5 יחידות · שאלון 572

שיעור 77: תרגיל אליפסה- 2014 ג

פרק 7: אליפסה

1🔵 סעיף א: עבור אילו ערכים של a המשוואה מייצגת אליפסה

2🟣 סעיף ב: מציאת משוואת האליפסה בעזרת שיפוע הישר AF₁ והמוקד

📄 נוסח השאלה

נתונה המשוואה x²a²+y²a²−16=1 , a פרמטר חיובי שונה מ־4.

א. מצא עבור אילו ערכים של a המשוואה מייצגת אליפסה.

ב. אליפסה שמשוואתה x²a²+y²a²−16=1 חותכת את הקרן השלילית של ציר ה־y בנקודה A. F₁ הוא המוקד הימני של האליפסה ו־F₂ הוא המוקד השמאלי. הישר AF₁ יוצר עם הקרן החיובית של ציר ה־x זווית של 26.566°. מצא את משוואת האליפסה.

🔵 סעיף א: עבור אילו ערכים של a המשוואה מייצגת אליפסה

מצא עבור אילו ערכים של a המשוואה מייצגת אליפסה.

משוואת אליפסה קנונית: x²a²+y²b²=1

אם a²=b² מקבלים x²+y²=a² – משוואת מעגל שמרכזו (0,0) ורדיוסו a.

לכן דורשים: a²≠a²−16

0≠−16 ✓ – תמיד מתקיים.

מתחת ל־y² נמצא b² , ו־b² חיובי:

b²=a²−16

a²−16>0

משווים ל־0: a²−16=0 ← a=±4

פרבולה מחייכת – חיובית מחוץ לשורשים:

a>4 או a<−4

נתון: a>0 , a≠4

🔵 סעיף א: עבור אילו ערכים של a המשוואה מייצגת אליפסה · המשך

נתון: a>0 , a≠4

מה שמשותף לשני התנאים (על ציר המספרים):

✅ a>4

🟣 סעיף ב: מציאת משוואת האליפסה בעזרת שיפוע הישר AF₁ והמוקד

אליפסה שמשוואתה x²a²+y²a²−16=1 חותכת את הקרן השלילית של ציר ה־y בנקודה A. F₁ הוא המוקד הימני של האליפסה ו־F₂ הוא המוקד השמאלי. הישר AF₁ יוצר עם הקרן החיובית של ציר ה־x זווית של 26.566°. מצא את משוואת האליפסה.

שיפוע הישר = טנגנס הזווית: m=tanα

m_AF₁=tan26.566°

m_AF₁=12

הקשר בין a,b,c : c²=a²−b²

a² – מתחת ל־x² , b²=a²−16

c²=a²−(a²−16)

c²=16

🟣 סעיף ב: מציאת משוואת האליפסה בעזרת שיפוע הישר AF₁ והמוקד · המשך

c²=16

c=4 ( c>0 )

המוקד הימני: F₁(c,0)=F₁(4,0)

חיתוך האליפסה עם ציר y : ±b ← A(0,−b)

נוסחת השיפוע: m=y₂−y₁x₂−x₁

12=−b−00−4

12=−b−4

🟣 סעיף ב: מציאת משוואת האליפסה בעזרת שיפוע הישר AF₁ והמוקד · המשך

12=−b−4

כפל בהצלבה:

−4=−2b

b=2 ← b²=4

מציבים ב־c²=a²−b² :

4²=a²−2²

16=a²−4

🟣 סעיף ב: מציאת משוואת האליפסה בעזרת שיפוע הישר AF₁ והמוקד · המשך

16=a²−4

a²=20

מציבים a²=20 , b²=4 במשוואה הקנונית:

✅ x²20+y²4=1

📌 לזכור

💡 באליפסה x²a²+y²b²=1 : c²=a²−b² , המוקדים (±c,0) , החיתוך עם ציר y ב־(0,±b) , ושיפוע ישר = tanα. כש־b² נתון כביטוי – דורשים שיהיה חיובי ושונה מ־a².

→ / רווח / לחיצה = הבא · ← = אחורה · F = מסך מלא